Раздел 7.   Многомерные случайные величины.   Случайные функции

Пусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию g_i из U сопоставим несколько чисел: ξ _i1 , ξ _i2 , ξ _i3 , ... ξ _ik  или вектор ξ_i. Потребуем, чтобы для любых х_j ( -∞ < х_j <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ _j < х_j ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ ₁ < x₁ ,  ξ ₂ < x₂ , ...  ξ _k < x_k } = P(A) = F( x₁, x₂,  ... x_k ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x₁, x₂,  ... x_k ) ее функцией распределения.

Примеры:
1 .   Координаты молекулы, находящейся в сосуде с газом, (x,y,z) или компоненты ее скорости (Vx,Vy,Vz) - можно рассматривать как трехмерные случайные величины
2 .   В задаче "о встрече" время прихода одного участника (х₁) и другого (х₂), если условия их прихода известны (скажем - любой момент в течение заданного часа), пару чисел х₁, х₂ можно рассматривать как двумерную случайную величину
3 .   Результат эксперимента, состоящего в измерении тока через разрядную трубку при десяти различных напряжениях, поданных на трубку, можно рассматривать как десятимерную случайную величину

Свойства многомерной функции распределения:
1 .   F( x₁, x₂,  ... -∞ ... x_k ) = 0;
2 .   F( x₁, x₂,  ... x_k-1, ∞) = F( x₁, x₂,  ... x_k-1 ), т.е. если один из аргументов принимает значение ∞, то размерность случайной величины уменьшается на 1;
3 .   F( x₁, x₂,  ... x_k ) не убывающая функция любого аргумента.

Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы). У них F( x₁, x₂,  ... x_k ) непрерывная функция всех аргументов. Для них определена к-мерная плотность распределения p( x₁, x₂,  ... x_k ), которая есть производная от функци распределения.

  (7.1)

Вероятность того, что случайный вектор примет значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по этой области от к-мерной плотности распределения.
Интеграл по всем переменным от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен 1.

Интеграл по одной переменной от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен плотности распределения (к-1)-мерной случайной величины.

Например:

        (7.2)

Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений.
Например, рассмотрим эксперимент по бросанию одновременно двух костей, с каждым элементарным событием свяжем два числа ( z₁, z₂ ), где z₁ - число очков на первой кости, z₂ - сумма очков на двух костях. Тогда ( z₁, z₂ ) - двумерная случайная величина, поскольку известна вероятность р( х_i, х_k ) пересечения событий, состоящих в том, что z₁ примет значение х_i, а z₂ - х_k . Для дискретных случайных величин закон распределения задается вероятностями всевозможных комбинаций их значений. Для двумерной величины при небольшом числе возможных значений это удобно представить в виде таблицы, где на пересечении столбца z₁ и строки z₂ стоит вероятность р( z₁, z₂ )

Таблица 7.1 Закон распределения двумерной величины z₁, z₂

Просуммировав все значения р( z₁, z₂ ) вдоль каждой строки, мы получим вероятности определенных значений z₂ , т.е. закон распределения одномерной величины z₂ . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z₁ . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 .

Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор, компоненты которого являются математическим ожиданием каждой отдельной компоненты случайного вектора.
M( z₁, z₂, ... z_k ) = ( Mz₁, Mz₂,  ...  Mz_k ).   Mz_i вычисляются как сумма или интеграл так же, как и для одномерных случайных величин . (см. раздел 6)

Дисперсия многомерной случайной величины описывается ковариационной матрицей .
Это таблица чисел размерности К×К для К-мерной величины, у которой на диагонали стоят дисперсии соответствующих одномерных величин, вычисляемых обычным образом, а ij-тым элементом является b_ij - коэффициент ковариации i-той и j-той компоненты случайного вектора.

        (7.3)

Коэффициент ковариации случайных величин z_i , z_j , обозначаемый иногда как cov(z_i,z_ji), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания:

b_ij = cov(z_i, z_j) = M[(z_i - Mz_i)(z_j - Mz_j)]         (7.4)

Для вычисления коэффициента ковариации надо знать закон распределения двумерной случайной величины (z_i,z_j). Тогда для непрерывных величин:

        (7.5)

для дискретных величин:

        (7.6)

Здесь суммирование ведется по всем t значениям, которые принимает величина z_i и всем q значениям, которые принимает величина z_j .

Преобразовав (7.4), получим более удобную формулу для вычисления коэффициента ковариации

b_ij = cov(z_i, z_j) = M(z_i × z_j) - Mz_i × Mz_j         (7.7)

Вычислим характеристики двумерной величины, представленной в таблице 7.7

Мz₁ = 1/6 ×( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3.5
Мz₂ = 2/36 + 3/18 + 4/12 + 5/9 + 30/36 + 7/6 + 40/36 + 9/9 + 10/12 + 11/18 + 12/36 = 7 , т.е.
М(z₁, z₂) = (3.5, 7)

Dz₁ = 1/6 ×( 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 ) - 3.52 = 3.417
Dz₂ = 4/36 + 9/18 + 16/12 + 25/9 + 36 × (5/36) + 49/6 + 64 × (5/36) + 81/9 + 100/12 + 121/18 + 144/36 - 49 = 5.833

M(z₁z₂) = 1/36 × (1×2 + 1×3 + 1×4 + 1×5 + 1×6 + 1×7 + 2×3 + 2×4 + 2×5 + 2×6 + 2×7 + 2×8 + 3×4 + 3×5 + 3×6 + 3×7 + 3×8 + 3×9 + 4×5 + 4×6 + 4×7 + 4×8 + 4×9 + 4×10 + 5×6 + 5×7 + 5×8 + 5×9 + 5×10 + 5×11 + 6×7 + 6×8 + 6×9 + 6×10  + 6×11 + 6×12) - 3.5×7 = 2.917 ,

т.е. ковариационная матрица имеет вид:

        (7.7)

Часто используется понятие: коэффициент корреляции r_ij - это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий i-той и j-той компонент случайного вектора

        (7.8)

Коэффициент корреляции r_ij может быть положительным или отрицательным, но никогда по модулю не превосходит 1.

Компоненты многомерной случайной величины называются независимыми, если многомерная функция распределения, многомерная плотность распределения, вероятность определенного набора значений распадаются на произведение соответствующих одномерных функций или вероятностей:

F(x₁, x₂,  ... x_k) = F(x₁) × F(x₂) ... ×F(x_k);
р(x₁, x₂,  ... x_k) = р(x₁) × р(x₂) ... ×р(x_k);                 (7.9)
р(x^t_i, x^q_j,  ... x^r_k) = р(x^t_i) × р(x^q_j) ... × р(x^r_k);

Условия (7.9), а также вытекающее из них и определения условной вероятности условия, которые должны выполняться во всей области существования значений случайных величин:

р( x_i / x_j ) = р(x_i) ,     р(x^t_i / x^q_j) = р(x^t_i)         (7.10)

- признаки независимости случайных величин

Компоненты z₁, z₂ двумерной величины, представленной в таблице 7.7, не независимы, т.к. p(1,4) = Р{z₁ = 1, z₂ = 4} = 1/36 ,
P{z₁ = 1} = 1/6 ,
P{z₂ = 4} = 1/12   (условие 7.9 нарушено);

p(1/10) = Р{z₁ = 1/z₂ = 10} = 0 ,
P{z₁ = 1} =1/6   ( условие 7.10 нарушено);

Для независимых случайных величин:

Коэффициенты ковариации и корреляции равны 0, следовательно, ковариационная матрица - диагональна

b_ij = cov( z_i, z_j ) = r_ij = 0

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий.

M( z_i × z_j ) = Mz_i × Mz_j

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D( z_i + z_j ) = D( z_i ) + D( z_j )

Понятие о случайной функции (случайном процессе)

Если элементарному событию сопоставляется не набор чисел ( случайный вектор), как в разделе 7, а функция некоторого параметра t - f(t) и при каждом значении t определена функция распределения F_t (x)=P{f(t)<x}, то f(t) называется случайной функцией или случайным процессом. Образно говоря - это "бесконечномерная случайная величина".

Если F _t(x) не зависит от t, процесс называется стационарным. Числовые характеристики случайного процесса (математическое ожидание и дисперсия) при фиксированном t определяются так же, как и для обычной случайной величины , если известны плотность распределения р_t(х) или р_t(x_i) (если f принимает дискретный ряд значений). Для стационарного процесса эти характеристики от t не зависят.

Для стационарного процесса статистические характеристики модно вычислить и по другому- путем усреднения по параметру :

Математическое ожидание

        (7.11)

Дисперсия

        (7.12)

Если оба способа вычисления числовых характеристик дают одинаковый результат, процесс называется эргодическим.

Аналогом ковариационной матрицы, которая характеризует связь между компонентами случайного вектора, для случайного процесса служит автокорреляционная функция Г(τ), показывающая как быстро с изменением параметра могут меняться значения случайной функции.

        (7.13)