"ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

(32 ч. лекций, 32 ч. практических занятий)

Цели и задачи курса:

Цель изучения курса состоит в том, чтобы вооружить будущего специалиста мощным инструментом, который он может использовать при решении как фундаментальных научных, так и прикладных технических, социальных и педагогических задач и укрепить его материалистическое мировоззрение.

Студент должен научиться:

• видеть в конкретных научных, технических, житейских проблемах вопросы, задачи, допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие задачи;
• при постановке физического, педагогического, технического эксперимента уметь формулировать цель эксперимента, планировать эксперимент, обрабатывать данные и интекрпретировать результаты.

Специалист должен глубоко понимать объективный и непреложный характер вероятностных законов, учитывать их в своей повседневной деятельности и руководствоваться ими при принятии управленческих решений.

Для достижения поставленной цели необходимо:

1. Прочно усвоить и научиться применять при решении задач понятия:

1.1. Событие; достоверное, невозможное событие. Элементарное событие.

1.2. Несовместные события.

1.3. Независимые события.

1.4. Сумма событий, произведение событий (объединение и пересечение).

1.5. Полная группа событий.

1.6. Вероятность.

1.7. Условная вероятность.

1.8. Случайная величина, функция распределения.

1.9. Закон распределения, плотность распределения, параметры закона распределения.

1.10. Математическое ожидание.

1.11. Дисперсия.

1.12. Оценка: эффективная, несмещенная, состоятельная.

1.13. Доверительный интервал для оценки.

1.14. Критерий проверки гипотезы.

1.15. Критическая область, уровень значимости.

1.16. Количество информации (по Шенону).

1.17. Матрица планирования.

1.18. Коэффициент корреляции, коэффициент ковариации.

2. Твердо знать и уметь использовать следующие теоремы, формулы и правила:

2.1. Правило сложения вероятностей.

2.2. Правило умножения вероятностей.

2.3. Формулы условной вероятности, полной вероятности.

2.4. Формула Бейса.

2.5. "Классическое" определение вероятности.

2.6. "Геометрическая" вероятность.

2.7. Вычисление МО и дисперсии для дискретных и непрерывных случайных величин.

2.8. Вычисление вероятности, попадания в интервал для непрерывной случайной величины.

2.9. Закон больших чисел.

2.10. Центральная предельная теорема.

2.11. Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа.

3. Твердо знать:

когда (при каких условиях) случайные величины распределены по перечисленным ниже законам, как вычисляется вероятность конкретных значений этих величин или вероятность попадания в интервал. Уметь пользоваться соответствующими формулами или табличным представлением законов распределения.

Для законов 3.1-3.4 знать, как связаны с параметрами закона МО и дисперсия:

3.1. Равномерное распределение.

3.2. нормальное распределение.

3.3. Распределение Бернулли.

3.4. Распределение Пуассона.

3.5. Распределение Стьюдента.

3.6. Распределение Фишера.

3.7. "хи-квадрат" распределение.

4. Уметь применять следующие приемы обработки экспериментальных данных (знать алгоритмы, уметь пользоваться готовыми программными средствами, уметь составить программу):

4.1. Оценка дисперсии результата измерения.

4.2. Оценка дисперсии результата наблюдения.

4.3. Оценка физической величины при неравноточных наблюдениях.

4.4. Построение доверительного интервала для оценок МО.

4.5. То же для дисперсии.

4.6. Метод наименьших квадратов.

4.7. Дисперсионный анализ.

4.8. Проверка гипотез. Общий алгоритм и конкретные гипотезы.

4.8.1. "О соответствии теории и практики".

4.8.2. "О равенстве МО двух выборок".

4.8.3. "О равенстве двух дисперсий".

4.8.4. "О виде функции распределения".

4.8.5. "Об отсутствии корреляции" между двумя случайными величинами. Уметь выбрать способ обработки данных в зависимости от цели эксперимента.

5. Иметь представление (с тем, чтобы в случае необходимости изучить глубже и использовать) о следующих понятиях:

5.1. Квантиль, мода, медиана.

5.2. Моменты функции распределения.

5.3. Характеристические функции.

5.4. Многомерная случайная величина.

5.5. Случайная функция, случайный процесс.

5.6. Марковский процесс.

5.7. Неравенство Рао-Крамера, информация по Фишеру.

5.8. Ковариационная матрица.

5.9. Эллипсоид рассеяния.

5.10. Метод главных компонент.

5.11. Некорректная обратная задача экспериментальной физики.

5.12. Планирование эксперимента. Факторы и параметр.

5.13. Оптимизационный эксперимент.

5.14. Оптимальный план эксперимента.

6. Уметь ориентироваться в учебной, справочной, научной литературе и нормативных документах по вопросам курса.

Некоторые вопросы из экзаменационных билетов:

• Алгебра событий.
• Аксиоматическое определение веоятностей.
• Вычисление вероятности попадания в интервал для непрерывной случайной величины.
• Вычисление МО и дисперсии для дискретных и непрерывных случайных величин.
• "Геометрическая" вероятность.
• Дисперсионный анализ.
• Дисперсия и ее свойства, коэффициент корреляции.
• Доверительные интервалы для оценок.
• Задачи математической статистики, понятие о генеральной совокупности и выборке.
• Закон Бернулли и Пуассона.
• Закон больших чисел.
• Закон распределения, плотность распределения, параметры закона распределения.
• "Классическое" определение вероятности.
• Коэффициент корреляции, коэффициент ковариации.
• Критерий проверки гипотезы.
• Локальная и интегральная теорема Муавра – Лапласа.
• Математическое ожидание: определение, свойства.
• Матрица планирования.
• Метод наименьших квадратов.
• Многомерная случайная величина.
• Некоректные обратные задачи и принципы их решения.
• Независимые события.
• Несовместные события, независимые события.
• Определение понятий: вероятность, условная вероятность.
• Оценка параметра распределения. Требования к оценкам.
• Оценка дисперсии случайной величины. Построение доверительного интервала для оценок дисперсий.
• Оценка математического ожидания. Построение доверительного интервала для оценок МО.
• Оценка МО и дисперсии физической величины при неравноточных измерениях. Оценка: эффективная, несмещенная, состоятельная.
• Планирование эксперимента. Факторы и параметр.
• Плотность распределения, вероятность попадания в интервал.
• Проверка гипотез. Общий алгоритм.
• Проверка гипотезы об отсутствии корреляции между двумя случайными величинами.
• Проверка гипотезы о виде функции распределения.
• Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.
• Проверка гипотезы о равенстве МО двух выборок.
• Проверка гипотезы о соответствии теории и практики.
• Распределение Стьюдента: определение, область применения.
• Распределение Фишера: определение, область применения.
• Следствия аксиоматического определения вероятностей. "Классическое определение" вероятностей.
• Случайная величина, функция распределения.
• Случайная функция, случайный процесс.
• Событие: достоверное, невозможное событие. Элементарное событие.
• Статистическая проверка гипотез.
• Сумма событий, произведение событий (объединение и пересечение).
• Условная вероятность. Формула Бейеса. Независимые события.
• Формулы условной вероятности, полной вероятности.
• Центральная предельная теорема.
• χ²-распределение.

Задачи для самостоятельной работы

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник.- М.: Наука, 1988.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Наука, 1986.
3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие.- М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.
5. Луизова Л.А. От постановки задачи до принятия решения.- Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2003.

Составила профессор КИИСиФЭ Луизова Л.А.