Для корректного отображения этой странички, необходимо, чтобы Ваш браузер поддерживал Cascading Style Sheets!

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА


Насыщение переходов

Закон Бугера-Ламберта-Бэра, описывающий уменьшение интенсивности света при распространении в среде.
dI(z) = - a I(z) dz,    I(z) = I0 exp(-az) (1)

Мощность, поглощенная единицей объема в интервале частот dw, равна
Формула 2 (2)
где W - энергия.

Мощность, поглощенная единицей объема на переходе EiEk
Формула 3 (3)
Интегрирование
Рис.12. Интегрирование по всем частотам, дающим вклад в переход.

 

а) Если интенсивность падающего излучения мало меняется в пределах контура поглощения, то примем ее константой.
Формула 4 (4)

Виды переходов
Рис.13. Виды переходов.
dP12/dt - число фотонов, которое атом поглощает за 1с (вероятность поглощения за 1с)
Вероятность 1->2 и 2->1
Вероятность 2->1 спонтанно - вероятность спонтанного перехода
B12, B21 - коэффициенты Эйнштейна для поглощения и вынужденного излучения; r(w) - спектральная плотность энергии поля излучения.
Формулы коэффициентов

Для Ni атомов в единице объема скорость переходов равна NiBikwr(w), поглощенная мощность на переходе
Поглощенная мощность (5)
Так как интенсивность плоской волны I(w) связана с плотностью энергии r(w) соотношением I(w) = c r(w), то сравнение (4) и (5) дает ∫ aik(w) dw = Ni Bikwwik/ c). Интеграл от коэффициента поглощения не зависит от контура линии. В случае заметного заселения верхнего уровня Ek необходимо принимать во внимание влияние индуцированного излучения, которое приводит к уменьшению реального поглощения.
Интеграл  
Связь эффективного сечения поглощения одного атома (молекулы) sik с коэффициентом поглощения:
aik = sik (Ni - Nkgi/gk)
Сечение поглощения
 
Если ширина линии определяется лишь естественной шириной, то
sинт = (l2/8p) 2pdnест gk/gi = (l/2)2 dnест gi/gk.  

 

б) Если ширина линии падающего излучения уже, но сравнима с шириной контура поглощения, то выносить I(w) за интеграл в (3) нельзя и этот интеграл считают приближенными методами.
 

в) Если Dlлаз << dlест (случай облучения одномодовым, одночастотным лазером), то результат будет
Интеграл.  
Для интенсивности лазерного излучения Iл поглощенная на единице длины мощность равна dWik/dt = aikIл. При введении профиля линии поглощения g(w-w0), значение сечения поглощения будет
sik(w) = (ħw/c) g(w-w0) Bikw.  
Зависимость сечения от частоты можно измерить, перестраивая узкое лазерное излучение по контуру линии поглощения и регистрируя ток ФЭУ (количество образовавшихся фотонов).

Измерение времен жизни и вероятности спонтанных переходов: пикосекундные и субпикосекундные лазеры.

Линейное и нелинейное поглощение

Схема переходов
Рис.14. Схема переходов.

В достаточно слабых световых полях наблюдается линейное поглощение. Интегрирование по z выражения dI = - I sik (Ni - Nk gi/gk) dz дает закон БЛБ. При более высокой интенсивности населенности верхнего и нижнего состояний зависят от нее, и dI уже не пропорциональна I.

Пусть g1=g2 и существует только два изолированных уровня E2>E1. Полная плотность частиц - постоянна: N = N1 + N2. Включим дополнительно столкновительные переходы с вероятностями С12 и С21 и в стационарных условиях получим
Формула 6 (6)
или, введя R2 и R1,
DN = DN0 [1 + 2B12wr(w12)/(R1 + R2)]-1 = DN0 / [1+S], (7)
где DN=N1-N2, а DN0=N(R1-R2)/(R1+R2) - разность населенностей при r(w12)=0. Параметр насыщения S представляет собой отношение вероятности индуцированных переходов B12wr(w12) к средней вероятности релаксации R=(R1+R2)/2.
S = 2B12w r(w12) / (R1 + R2) = B12w r(w12) / R (8)
Если С12 и С21 отсутствуют, то параметр насыщения равен отношению скоростей индуцированных (излучение + поглощение) и спонтанных переходов. При S=1 разность населенностей падает наполовину от ее ненасыщенного значения DN0. Перепишем (7) в виде
DN = DN0 [1 + B12wI(w12) / cR]-1 = DN0 / [1 + I/Iнас] (9)
За интенсивность насыщения принята такая величина интенсивности, которая приводит к уменьшению DN до DN0/2. Так как a = DN s, то с увеличением интенсивности падающего излучения (I → ∞) коэффициент поглощения двухуровневой системы стремится к нулю.
a = a0 [1 + I/Iнас]-1 (10)
Графики (GIF:3k)
Рис.15. Графики.

В случае нестационарного воздействия, т.е. достаточно сильное поле излучения включено в момент t=0, амплитуды населенностей состояний совершают затухающие колебания и приближаются к стационарным состояниям N1=N2=0.5N лишь после полного затухания осцилляций на частоте Раби.

Ширины и профили спектральных линий

График
Рис.16. Профиль спектральной линии.

Ширина по полувысоте:
dl = (c/n2) dn  

Естественная ширина.

Атомный электрон - затухающий осциллятор.
Уравнение колебаний (11)
x(t) - амплитуда колебаний. Начальные условия: x(0)=x0 и x'(0)=x0. Решение:
x(t) = x0 exp(-gt/2) [cos(wt) + (g/2w)sin(wt)]. (12)
Частота затухающих колебаний w = √w0² - g²/4 немного меньше, чем частота w0 (частота перехода между Ei и Ek в отсутствие затухания. Следовательно, при слабом затухании g<<w0
x(t) = x0 exp(-gt/2) cos(w0t) (13)
Вследствие постепенного уменьшения амплитуды x(t) испускаемое излучение уже не является монохроматическим, а обнаруживает некоторое распределение по частотам, связанное с x(t) из (3) преобразованием Фурье (см. рис.17).
Графики
Рис.17. Естественная ширина.

X(t) - суперпозиция монохроматических колебаний eiwt с зависящей от частоты амплитудой.
Уравнение 14 (14)
Уравнение 15 (15)
После интегрирования получаем
Уравнение 16 (16)
Вблизи центральной частоты вторым членом можно пренебречь. Т.к. I ≈ A(w) A*(w), то
Уравнение 17 (17)
Вводя нормированный профиль линии g(w-w0) = c I(w), получим контур затухающего осциллятора - лоренцев контур.
Лоренцев контур (18)
Его ширина равна dwест = g, dnест = Ai / 2p = 1 / (2pti)
Пояснения (GIF:2k)
Рис.18. Пояснения.

Предыдущая формула для случая, когда затухание обусловлено распадом уровня. Это же можно получить исходя из принципа неопределенности. Энергию любого уровня можно определить с точностью DEi ≈ ħ/ti ; dw = (Ei - Ek)/ħ = DE/ħ = 1/ti для стабильного конечного состояния. Если конечное состояние не основное, то dw = 1/ti + 1/tk . В общем случае, когда распад обоих уровней вызван не только спонтанным излучением, но также и процессами безызлучательной релаксации, профиль линии определяется суммарными константами распада gi и gk, каждая из которая равна gспонт + gбезызл .
Контур линии (19)


Web-дизайн: Соловьев А.
Последние изменения 01.06.2000.
[6-я часть]   [4-я часть]   [Содержание]   [Методические пособия]