![]() |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теоретический материал | ![]() |
Reading materials | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Web-версия учебного курса "Теория вероятностей"
![]() Раздел 7. Многомерные случайные величиныПусть имеется пространство элементарных событий U, на нем построено поле событий и для каждого события А из этого поля определена вероятность Р(А). Каждому элементарному событию gi из U сопоставим несколько чисел: ξ i1 , ξ i2 , ξ i3 , ... ξ ik или вектор ξi. Потребуем, чтобы для любых хj ( -∞ < хj <+∞ ) , j = 1, 2 ... k , множество А тех g , для которых ξ j < хj ( j = 1, 2, ... k) , принадлежало полю событий, т.е. для него определена вероятность Р{ ξ 1 < x1 , ξ 2 < x2 , ... ξ k < xk } = P(A) = F( x1, x2, ... xk ). Тогда ξ называется многомерной случайной величиной, или случайным вектором, а F( x1, x2, ... xk ) ее функцией распределения. Примеры: Свойства многомерной функции распределения: Многомерные случайные величины могут быть непрерывными, т.е. принимать любые значения в некоторой области к-мерного пространства (например, упомянутые выше компоненты скорости молекулы). У них F( x1, x2, ... xk ) непрерывная функция всех аргументов. Для них определена к-мерная плотность распределения p( x1, x2, ... xk ), которая есть производная от функци распределения.
Вероятность того, что случайный вектор примет значение, лежащее в области V к-мерного пространства, равна интегралу по этой области от к-мерной плотности распределения. Интеграл по одной переменной от - ∞ до + ∞ от к-мерной плотности распределения равен плотности распределения (к-1)-мерной случайной величины. Например:
Многомерные случайные величины могут быть дискретными, т.е. каждая компонента случайного вектора может принимать только конечное или счетное множество определенных значений. Таблица 7.1 Закон распределения двумерной величины z1, z2
Просуммировав все значения р( z1, z2 ) вдоль каждой строки, мы получим вероятности определенных значений z2 , т.е. закон распределения одномерной величины z2 . Аналогично, сумма по столбцам даст закон распределения одномерной величины z1 . Сумма всех чисел в таблице должна быть равна 1 . Математическим ожиданием многомерной случайной величины называется вектор, компоненты которого являются математическим ожиданием каждой отдельной компоненты случайного вектора. Дисперсия многомерной случайной величины описывается ковариационной матрицей
Коэффициент ковариации случайных величин zi , zj , обозначаемый иногда как cov(zi,zji), есть математическое ожидание произведения отклонений каждой из этих величин от своего математического ожидания: bij = cov(zi, zj) = M[(zi - Mzi)(zj - Mzj)] (7.4) Для вычисления коэффициента ковариации надо знать закон распределения двумерной случайной величины (zi,zj). Тогда для непрерывных величин:
для дискретных величин:
Здесь суммирование ведется по всем t значениям, которые принимает величина zi и всем q значениям, которые принимает величина zj . Преобразовав (7.4), получим более удобную формулу для вычисления коэффициента ковариации bij = cov(zi, zj) = M(zi × zj) - Mzi × Mzj (7.7) Вычислим характеристики двумерной величины, представленной в таблице 7.7
Часто используется понятие: коэффициент корреляции rij - это коэффициент ковариации, деленный на корень из произведения дисперсий i-той и j-той компонент случайного вектора
Коэффициент корреляции rij может быть положительным или отрицательным, но никогда по модулю не превосходит 1
![]() |
![]() |
|