Задачи по "Теории вероятностей"

для самостоятельного решения
номера с 1 по 28 из 84.
*.   10 гостей рассаживается случайным образом за круглым столом.
Какова вероятность того, что некая пара окажется рядом ?
*.   В лоторее N билетов, из них М выигрышных. Вы купили К билетов.
Какова вероятность Вам выиграть ?
1. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают сразу пять карт.
Найти вероятность p того, что две из них будут красными, а три черными.
2. Из ящика, содержащего n пронумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия.
Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1, 2, ..., n.
3. Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, но каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается.
Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, ..., n.
4. Из колоды карт (36 штук) случайным образом выбираются 6 карт.
  1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит?
  2. Найдите вероятность того, что в выбранном наборе будет только один туз.
5. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М).
Найти вероятность события А того, что ни на один канал не придется больше одной телеграммы.
*.   Из кучи монет 1, 5, 10, 50 коп. берется горсть монет.
Найти вероятность того, что сумма денег четная.
6. Имеются m различных частиц, каждая из которых может находиться с одной и той же вероятностью 1/N в каждой из N ячеек (N > m).
Найти вероятность того, что:
  1. в определенных N ячейках окажется по одной частице,
  2. в каких-то N ячейках окажется по одной частице.
7. Та же задача в статистике Бозе-Эйнштейна: частицы неразличимы.
8. Та же задача в статистике Ферми-Дирака: частицы неразличимы и в каждой ячейке не более 1 частицы.
*.   Найти ошибку в доказательстве утверждения:
для любых А и В    P(А) = P(В)
Доказательство:
А = А - В + В ,   A - B и B не совместны, В = В - А + А ,   B - A и A не совместны,
P(А) = P(А - В) + P(В) ,    P(А) > P(В)P(В) = P(В - А) + P(А) ,    P(В) > P(А),
т. е. P(А) = P(В)
9. Имеется 10 одинаковых карточек, на которых написаны цифры от 0 до 9. Эксперимент состоит в случайном выборе (без возвращения) трех карточек из этих 10.
  1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимена, сколько элементов оно содержит ?
  2. Найдите вероятность того, что из выбранных цифр можно составить число, делящееся на 3, на 5.
10. По схеме случайного выбора с возвращением из 18 натуральных чисел выбираются 2 ( х и у ). Найти вероятность того, что:
  1. х2 - у2 - делится на 2,
  2. х2 - у2 - делится на 3.
11. Два студента А и В поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает пятерка. Начинает А.
  1. Опишите пространство элементарных исходов эксперимента по бросанию игральной кости до первого выпадeния пятерки.
  2. Найдите вероятность того, что игра закончится при k-том бросании, до k-того бросания.
  3. Найдите вероятность того, что выиграет студент А.
12. N экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на m вопросов.
Какова вероятность того, что взятый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов ?
13. В ящике находятся однотипные изделия, изготовленные разными заводами; из них 6 изделий изготовлены заводом 1, 10 изделий - заводом 2, 14 изделий - заводом 3. Из ящика вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия и отмечают места их изготовления.
Найти вероятность того, что при этом изделие завода 2 появится раньше, чем изделие завода 1.
14. Обрабатываемые на станке детали сортируются по размерам на две группы. Каждая очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в первую или вторую группу. Пусть в начале смены для каждой группы деталей приготовлено по ящику емкости b.
Какова вероятность того, что в момент, когда очередную деталь будет некуда класть, в другом ящике будет m деталей ?
15. В группе 25 человек.
Какова вероятность того, что хоть у кого-то совпадают дни рождения  ?
16. Вывести общую формулу вероятности суммы (объединения) n произвольных событий и с ее помощью решить задачу: Секретарь пишет 5 писем и раскладывает их произвольным образом в 5 заранее подписанных конвертов.
Какова вероятность того, что хоть одно письмо попадет нужному адресату ?
17. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку.
Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.
18. Из множества чисел (1, 2, ..., n) по схеме случайного выбора без возвращения выбираются три числа, найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.
19. Имеется 4 ящика и три цветных шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам
  1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?
  2. Найдите вероятность того, что один из ящиков содержит ровно два шара.
20. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью P. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других.
Найти вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.
21. Игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет меньше пяти очков.
Какова вероятность получить при последнем бросании не меньше двух очков ?
22. Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью P может произойти некоторое событие А. Испытания производятся до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит m.
Определить среднее число произведенных испытаний.
23. Решите задачу 19, если ящиков только 3.
*.   В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна ½.
Каково минимально возможное число носков в ящике ?
24. Два судна могут подойти к причалу в любое время в течение суток независимо. На причале одно место для разгрузки. Разгрузка длится 2 часа.
Какова вероятность событий:
  1. Первое судно придет раньше второго.
  2. Ни одно судно не будет ожидать разгрузки.
  3. Первое судно будет ожидать разгрузки не более 6 часов.
25. Найти вероятность того, что корни уравнения х2 - 2bх + с  вещественны, если коэффициенты b и с любые числа, но по абсолютной величине не превышают некоторого числа В.
26. Отрезок (0,а) случайной точкой делится на две части, из которых случайно выбирается одна часть. Обозначим b длину выбранной части.
Найти P{b ≤ c } , 0 ≤ c ≤ a , предполагая, что координата случайной точки равномерно распределена на отрезке (0,а) и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.
*.   Стол разграфлен параллельными линиями, расстояние между которыми а, на стол бросается монета.
Найти вероятность события: монета упадет гербом вверх или упадет вверх "решкой", но не пересечет ни одну из линий.
*.   Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга ?
28. Стеклянный стержень длиной L = 1 м ломается случайным образом на 3 части.
Найти вероятность того, что из обломков можно составить треугольник.

 

 
 
[1-28]  [29-56]  [57-84]