Задачи по "Теории вероятностей"

для самостоятельного решения
номера с 29 по 56 из 84.
29.   В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета (¾ дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету.
Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол ?
30.   Случайные величины х, у распределены равномерно в интервале 0, 1 и независимы.
  1. Какова вероятность того, что х + у > 0,5 ?
  2. Какова вероятность того, что х - у > 0,5 ?
  3. Построить F(х+у), P(х+у)
  4. Построить F(х-у), P(х-у)
31.   Случайная точка А имеет равномерное распределение в квадрате со стороной a (мм).
Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата.
32.   Плоскость разграфлена параллельными прямыми на расстоянии А друг от друга. На плоскость наугад бросается игла (отрезок) длины l < А.
Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.
33.   При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна P . Вероятность принять здорового человека за больного равна q . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна x .
Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
34.   В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают карты по одной и выкладывают на стол.
Найти вероятность р того, что в какой-то момент число вынутых красных карт станет равно числу вынутых черных ?
*.   А, В и C сходятся для трехсторонней дуэли. известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для C - 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше C и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия А ?
35.   Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит из строя хотя бы один из двух последовательно соединенных элементов (x, y) или одновременно оба паралельных сопротивления (P,q) . Определить вероятность того, что не будет разрыв цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями, указанными ниже.
36.   В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью P , а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью р.
Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью ?
37.   Человек стоит в одном шаге от обрыва и делает шаги к обрыву и от него следующим образом: с вероятностью p к обрыву и с вероятностью (1 - p) = q от него.
Найти вероятность того, что он когда-нибудь упадет.
38.   В первой урне находятся a белыx и b черных шаров, а во второй - n белых и m черныx шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну
Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
39.   На первом курсе в первой группе 25 студентов, из них 2 стипендиата предприятия; во второй 16 студентов, из них 5 стипендиатов. Наудачу выбран 1 студент.
Какова вероятность того, что он стипендиат предприятия ? Какова вероятность того, что он из 1 группы, если оказалось, что он стипендиат предприятия ?
40.   В задаче 16 положить, что общее число писем n и конвертов n.
Каково среднее число писем, попавших к адресатам.
41.   Баллон наполнен смесью неона (30%) и гелия (70%). Температура газа 300 К.
Какова средняя скорость атома в баллоне ? (Газ считать идеальным).
42.   Пользуясь определением Мх и , вычислить Мх и
  1. для случайной величины, распределенной равномерно в интерале (а,b)
  2. для случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а
  3. для случайных величин, плотность распределения которых представлена на графике
    Рисунок к задаче 42
  4. для случайной величины, распределенной по закону Бернулли с параметрами р ,  n
43.   Два студента А и В поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает пятерка. Начинает А.
  1. найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, равной числу бросаний кости до окончания игры
  2. найдите вероятность того, что игра закончится при одиннадцатом бросании, если известно, что выиграл студент А
44.   При записи программы на неисправном накопителе появляется в среднем 4 ошибки.
  1. какова вероятность безошибочной записи ?
  2. какова вероятность записи с 4 ошибками ?
  3. сколько раз в среднем надо записывать программу, чтобы получить безошибочную запись ?
45.   Частица движется в разреженном газе, вероятность ее столкновения на пути dl с другой частицей р = Nqdl , где N - концентрация частиц в газе, q - сечение столкновения.
Найти среднюю длину свободного пробега.
46.   Найти вероятность того, что ближайшая частица находится от данной в некоторый момент времени на расстоянии от R до R + dR. Концентрация частиц N.
47.   Случайная величина распределена нормально с дисперсией 25 и средним 2.
Найти вероятность того, что она примет значение в интервале (0,4).
48.   Найти вероятность того, что среднее арифметическое 5 независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально с параметрами Мх = 1 , Dх = 4 , лежит в интервале (0.5 ÷ 1.5).
49.   Две точки брошены наугад на отрезок 0,L.
Найти F(r) , P(r) , M(r) , D(r) , где r - расстояние между точками.
*.   Построить характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона, и показать, что сумма независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, имеет тоже пуассоновское распределение.
50. Случайная величина х распределена равномерно в интервале (0 ÷ 1).
Найти вероятность того, что среднее арифметическое 100 значений этой величины лежит в интервале (0,50 ÷ 0,01).
51. В цехе 40 станков. Каждый в среднем дает 1 сбой в час.
Найти вероятность того, что общее число сбоев за смену не превысит 300. (Сбои считать независимыми).
52.   Найти вероятность того, что при 600 бросаниях 2-х костей число выпаданий 12 очков будет не более 17.
53.   Для постройки здания нужно забить в землю не менее 300 свай на глубину 5 м. Если свая на меньшей глубине натыкается на камень, ее спиливают и в число несущих свай она не входит. Вероятность "встретить" такой камень в толще земли глубиной dх:  р = N×S×dx, где N - концентрация камней, S - "сечение" камня.
  1. сколько нужно заготовить свай, чтобы с вероятностью 0,95 их хватило на постройку здания, если N = 0,1 м-3 , S = 2 м2 ?
  2. заготовлено 1000 свай. Сколько свай в среднем удается забить при тех же N, S ?
54.   Автобусы № 7 и № 6 могут появиться на остановке равновероятно в любой момент от 8.00 до 8.10 независимо друг от друга.
Каков наиболее вероятный интервал времени между появлением автобусов на остановке ?
55.   В поселке n жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных.
Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в m дней (поезд ходит раз в сутки, в месяце 30 дней) ?
56.   Вероятность хотя бы одного попадания в цель при n выстрелах равна P.
Найти вероятность того, что:
  1. при четырех выстрелах будет три попадания
  2. ни одного попадания
    Взять значения P = 0,75 и n = 2

 

 
 
[1-28]  [29-56] [57-84]