Задачи по "Теории вероятностей"для самостоятельного решения
номера с 57 по 84 из 84. 57. Случайная величина х подчинена
показательному закону распределения с параметром a.
58. Рассматривается пуассоновское поле точек
на плоскости с постоянной плотностью b.
Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля ближайшей к ней соседней точки. 59. В пространстве трех измерений случайным образом
расположены точки. Число точек в некотором объеме b пространства
есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием
а = b×n, где n - среднее число точек, находящихся
в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния R
от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.
*. В ансамбле систем, находящихся в термодинамическом равновесии, в термостате
с температурой Т плотность распределения энергии отдельной системы
имеет вид P(Е) = C ехр(-Е⁄кТ)
Найти:
60. Из хорошо перетасованной колоды (52 карты) на стол последовательно
выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом
выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой
из второй колоды.
Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт ? Каково среднее число совпадений масти нижней и верхней карт ? 61. В страховом обществе застраховано n человек
одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти для каждого лица
равна P. Каждый застрахованный вносит 1-го января 1 тыс. рублей,
и в случае его смерти родственники получают от общества b тыс.
рублей.
Найдите вероятность того, что
62. Вероятность попадания в цель при одном выстреле
равна P. Производится n независимых выстрелов.
Укажите промежуток, в котором с вероятностью 0.95 будет находиться число попаданий. 63. Производится n независимых испытаний,
при каждом из которых вероятность наступления события А равна P.
Чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от его вероятности не более чем на q ? 64. Известно, что вероятность выпуска бракованного
сверла равна P. Сколько сверл нужно класть в коробку, чтобы с вероятностью,
не меньшей 0.9, в ней было не менее n исправных ?
65. Пусть х и у - независимые
нормальные случайные величины, имеющие средние 1 и дисперсии c.
66. Газета публикует номера шаров, выпавших в
очередном тираже "Спортлото 6 из 49" в возрастающем порядке. Пусть Х
- номер, начинающий "счастливую" шестерку, а У - наибольший из
выигравших номеров.
Найдите законы распределения Х и У, их средние и дисперсии. *. В лоторее 1000 билетов,из них 9 выигрышных. Цена билета
1000 рублей. Выигрыш 100 000 рублей. Сколько билетов надо купить, чтобы Ваш
средний доход был максимален ?
67. Известно, что вероятность выпуска бракованной
детали равна P. Детали упаковываются в ящики по n
штук.
Найдите вероятность того, что
68. Имеется 3 ящика и три одинаковых
шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам.
69. Бросают 2 кости. Постройте закон распределения
и ковариационную матрицу вектора (х,у), где х - число
очков на первой кости, у - сумма очков на первой и второй кости
.
*. Игроки А и В играют
в "монету" следующим образом: монета бросается до тех пор, пока не появится
выбранная одним из них комбинация из двух результатов. Например А ставит на
"два орла" (OO), а В - на "орел, решка" (OP). Тогда А выигрывает, если бросания
имеют результаты: POО, или PPOO, или OO и т.п.; а B выигрывает PPOP, или OP, или POP, или PPPOP и т.д.
Равновероятны ли шансы игроков на выигрыш ? Зависит ли вероятность выигрыша от выбранной комбинации ?
70. Ниже приводится закон распределения случайного вектора х, у.
71. Два независимых, различных генератора генерируют каждый с вероятностью P "0"
или с вероятностью 1 - P "1" . Рассмотрим случайный вектор (х,у) ,
где х - число, выданное первым генератором, у - сумма значений,
выданных двумя генераторами (сумма обычная, т.е. 1 + 1 = 2).
Постройте закон распределения вектора (х,у) и ковариационную матрицу (х,у). Являются ли х и у независимыми ?
72. Бросают 2 кости. Постройте ковариационную матрицу вектора (х,у),
где х - число очков на первой кости, у - на второй.
Найдите условную вероятность события: сумма очков равна 7 при условии, что на первой кости 3 очка. Найдите закон распределения вектора (z1,z2), z1=x+y, z2=x-y. Найдите Мz1, Mz2, Dz1, Dz2, Cov(z1,z2).
73. Эксперимент состоит в случайном выборе набора n карт из колоды (36 карт).
74. Эксперимент состоит в случайном выборе одной из костей домино из полного их набора.
75. Точка (х,у) выбирается случайным образом из треугольника с вершинами А(2,2), В(0,2), C(2,0).
Найдите:
*. Одна женщина утверждает: "Мой муж среднего роста,
а ведь большинство мужчин ниже среднего роста". Бессмысленно ли это утверждение ?
76. Эксперимент состоит в одновременном бросании n правильных игральных костей.
77. Имеется 4 ящика и три шарика, эксперимент состоит в случайном
распределении шариков по ящикам. Пусть х - число занятых ящиков, у - число шариков в ящике 1.
78. Случайный вектор (Х,У) имеет плотность распределения A
если х2 + у2 ≤ b2 и 0 в противном случае.
Найдите:
79. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата |х| ≤ 1 ; |у| ≤ 1.
Пусть x и y - координаты выбранной точки.
80. Плотность распределения случайного вектора
(х,у):
p(x,y) = Asin(х)sin(у)
если х и у принадлежaт [0, p /2], иначе p(x,y) =0.
81. Случайный вектор (x,y) имеет плотность p(x,y) = Aху
для точек внутри треугольника с вершинами А(0,a), В(a,a), C(a,0), (a>0), и 0 для остальных точек плоскости.
Найдите:
82. Плотность распределения случайного вектора (Х,У) равна
p(х,у) = A×|x|×|y| , если х2 + у2 ≤ 1 , 0 в противном случае.
Найдите:
83. В урне находится 10 одинаковых шаров с номерами 1, 2, ..., 10.
Эксперимент состоит в случайном выборе без возвращения n шаров.
84. Случайный вектор (х,у) имеет плотность распределения
р(х,у) = А ехр (- a2х2 + cху - b2у2).
Найдите:
|
![]() |
|
|||||||||||||||||||||
![]() |
|