Задачи по "Теории вероятностей"для самостоятельного решения
номера с 29 по 56 из 84.
29. В одной из популярных в Америке игр игрок бросает
монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную
на однодюймовые квадраты. Если монета (¾ дюйма в диаметре) попадает полностью
внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою
монету.
Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол ?
30. Случайные величины х, у распределены
равномерно в интервале 0, 1 и независимы.
31. Случайная точка А имеет равномерное
распределение в квадрате со стороной a (мм).
Найти вероятность того, что расстояние от А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали квадрата. 32. Плоскость разграфлена параллельными прямыми
на расстоянии А друг от друга. На плоскость наугад
бросается игла (отрезок) длины l < А.
Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.
33. При рентгеновском обследовании вероятность
обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна P .
Вероятность принять здорового человека за больного равна q . Пусть
доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна x
.
Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.
34. В неполной перетасованной колоде 10
красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают карты по одной и выкладывают
на стол.
Найти вероятность р того, что в какой-то момент число вынутых красных карт станет равно числу вынутых черных ?
*. А, В и C
сходятся для трехсторонней дуэли. известно, что для А вероятность
попасть в цель равна 0,3, для C - 0,5, а В стреляет
без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет
А, затем В, дальше C и т.д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли),
пока лишь один человек не останется невредимым. Какой должна быть стратегия
А ?
35. Разрыв электрической цепи происходит в том
случае, когда выходит из строя хотя бы один из двух последовательно соединенных
элементов (x, y) или одновременно оба паралельных
сопротивления (P,q) . Определить вероятность того,
что не будет разрыв цепи, если элементы выходят из строя с вероятностями, указанными
ниже.
36. В жюри из трех человек два члена независимо
друг от друга принимают правильное решение с вероятностью P , а
третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится
большинством голосов). Жюри из одного человека выносит справедливое решение
с вероятностью р.
Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью ?
37. Человек стоит в одном шаге от обрыва и делает
шаги к обрыву и от него следующим образом: с вероятностью p к обрыву
и с вероятностью (1 - p) = q от него.
Найти вероятность того, что он когда-нибудь упадет.
38. В первой урне находятся a белыx
и b черных шаров, а во второй - n белых и m
черныx шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили
по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну
Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
39. На первом курсе в первой группе 25 студентов, из них 2
стипендиата предприятия; во второй 16 студентов, из них 5 стипендиатов. Наудачу
выбран 1 студент.
Какова вероятность того, что он стипендиат предприятия ? Какова вероятность того, что он из 1 группы, если оказалось, что он стипендиат предприятия ?
40. В задаче 16 положить, что общее число писем
n и конвертов n.
Каково среднее число писем, попавших к адресатам.
41. Баллон наполнен смесью неона (30%) и гелия (70%).
Температура газа 300 К.
Какова средняя скорость атома в баллоне ? (Газ считать идеальным).
42. Пользуясь определением Мх и
Dх, вычислить Мх и Dх
43. Два студента А и В
поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает
пятерка. Начинает А.
44. При записи программы на неисправном накопителе появляется
в среднем 4 ошибки.
45. Частица движется в разреженном газе, вероятность
ее столкновения на пути dl с другой частицей р = Nqdl ,
где N - концентрация частиц в газе, q - сечение
столкновения.
Найти среднюю длину свободного пробега.
46. Найти вероятность того, что ближайшая частица
находится от данной в некоторый момент времени на расстоянии от R
до R + dR. Концентрация частиц N.
47. Случайная величина распределена нормально
с дисперсией 25 и средним 2.
Найти вероятность того, что она примет значение в интервале (0,4).
48. Найти вероятность того, что среднее арифметическое
5 независимых случайных величин, каждая из которых распределена нормально с
параметрами Мх = 1 , Dх = 4 , лежит в интервале
(0.5 ÷ 1.5).
49. Две точки брошены наугад на отрезок 0,L.
Найти F(r) , P(r) , M(r) , D(r) , где r - расстояние между точками.
*. Построить характеристическую функцию случайной величины,
распределенной по закону Пуассона, и показать, что сумма независимых случайных
величин, распределенных по закону Пуассона, имеет тоже пуассоновское распределение.
50. Случайная величина х распределена равномерно в интервале (0 ÷ 1).
Найти вероятность того, что среднее арифметическое 100 значений этой величины лежит в интервале (0,50 ÷ 0,01).
51. В цехе 40 станков. Каждый в среднем дает 1 сбой в час.
Найти вероятность того, что общее число сбоев за смену не превысит 300. (Сбои считать независимыми).
52. Найти вероятность того, что при 600
бросаниях 2-х костей число выпаданий 12 очков будет
не более 17.
53. Для постройки здания нужно забить в землю
не менее 300 свай на глубину 5 м. Если свая на меньшей
глубине натыкается на камень, ее спиливают и в число несущих свай она не входит.
Вероятность "встретить" такой камень в толще земли глубиной dх: р = N×S×dx,
где N - концентрация камней, S - "сечение" камня.
54. Автобусы № 7 и № 6
могут появиться на остановке равновероятно в любой момент от 8.00 до 8.10 независимо
друг от друга.
Каков наиболее вероятный интервал времени между появлением автобусов на остановке ?
55. В поселке n жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц
ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо
от остальных.
Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в m дней (поезд ходит раз в сутки, в месяце 30 дней) ?
56. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при n
выстрелах равна P.
Найти вероятность того, что:
|
![]() |
|
|
![]() |
|